微分中值定理
第五讲、微分中值定理
五、典型例题
5.1 中值定理极限讨论
5.2 含一个中值的等式证明
注解:【罗尔定理】怎样由待证明等式构造函数,寻找两个零点;以及原函数与二阶导数同时存在时怎样利用一阶导数构造函数;
【一道经典题目】
注解:泰勒公式运用以及两端点泰勒展开式作差,最值定理以及介值定理;
注解:整体思路和上一道题目类似,特别注意积分上限函数的运用以及连续导数;
注解:怎样由三角函数结合待证明等式构造辅助函数,寻找两个零点;
5.3 含多个中值的等式证明
注解:F(x)F(x)怎样构造的,借助f(a+b−x)f(a+b−x)巧妙地利用条件f(a)=0f(a)=0构造F(b)=0F(b)=0,以及构造m、nm、n作为函数指数;
注解:这道题目准备工作很重要,设定c=a/(a+b)c=a/(a+b)以及介值定理f(μ)=cf(μ)=c;
5.4 含中值不等式的证明
极限保号性
注解:这一类题目注重拉格朗日中值定理的应用,因为通过LagrangeLagrange中值定理可以判断取值范围;
反证法
注解:构造xαG(x)xαG(x)特别好,从不等式(导函数)中构造原函数;以及最后再次构造原函数,这道题目连续多次构造处理;
5.5 利用中值定理证明函数性质
注解:此道题目对f(x+θh)f(x+θh)的二阶导函数再次泰勒展开,以及在区h−>0h−>0特别好;
注解:在处理g‘(x)=0g‘(x)=0时,设定g(x)g(x)极限为LL或无穷大;之后假设证明:求极限问题;
注解:带绝对值类的题目,对不等式而言尽可能放缩,注意其中二阶导数放缩不大于函数值与一阶导数值之和;
【拓展】
注解:怎样求f(x)f(x)的导数,以及注意f(0)f(0)的导数需单独求解,另外对原函数等价于导数的积分处理进一步放缩特别好;