积分学

第八讲 不定积分与定积分的计算

知识点

注解：（式5证明——区间对称性)

$$
\int_a^b\frac{f(x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx=\int_b^a\frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x)+f(x)}(-dx)
$$

$$
= \frac{1}{2}\int_a^b\frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)}dx=\frac{b-a}{2}
$$

八、典型例题

8.1 不定积分计算

【欧拉变换】

【根式换元】


【分部积分】

【三角换元】


注解：

$$
\int\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}dx = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
$$

【构造函数】——凑微分（注意以下两种凑微分相同的方式）

【参数方程】——借助参数方程转变为单变量积分

注解：最后一道题中需要注意：

$$
1-y^4=(1-y)(1+y+y^2+y3)
$$

8.2 定积分的计算

【构造奇偶函数】

【区间对称性】