微分中值定理

第五讲、微分中值定理

五、典型例题

5.1 中值定理极限讨论

5.2 含一个中值的等式证明

注解：【罗尔定理】怎样由待证明等式构造函数，寻找两个零点；以及原函数与二阶导数同时存在时怎样利用一阶导数构造函数；

【一道经典题目】

注解：泰勒公式运用以及两端点泰勒展开式作差，最值定理以及介值定理；

注解：整体思路和上一道题目类似，特别注意积分上限函数的运用以及连续导数；

注解：怎样由三角函数结合待证明等式构造辅助函数，寻找两个零点；

5.3 含多个中值的等式证明

注解：$F(x)$怎样构造的，借助$f(a+b-x)$巧妙地利用条件$f(a)=0$构造$F(b)=0$，以及构造$m、n$作为函数指数；

注解：这道题目准备工作很重要，设定$c = a/(a+b)$以及介值定理$f(\mu)=c$；

【同型题目】

柯西中值定理

5.4 含中值不等式的证明

极限保号性

注解：这一类题目注重拉格朗日中值定理的应用，因为通过$Lagrange$中值定理可以判断取值范围；

反证法

注解：构造$x^\alpha G(x)$特别好，从不等式（导函数）中构造原函数；以及最后再次构造原函数，这道题目连续多次构造处理；

5.5 利用中值定理证明函数性质

注解：此道题目对$f(x+\theta h)$的二阶导函数再次泰勒展开，以及在区$h-> 0$特别好；

注解：在处理$g^`(x)=0$时，设定$g(x)$极限为$L$或无穷大；之后假设证明：求极限问题；

注解：带绝对值类的题目，对不等式而言尽可能放缩，注意其中二阶导数放缩不大于函数值与一阶导数值之和；

【拓展】


注解：怎样求$f(x)$的导数，以及注意$f(0)$的导数需单独求解，另外对原函数等价于导数的积分处理进一步放缩特别好；